Komplexe Funktionen
Interaktive Visualisierung komplexer Funktionen

Komplexe
Funktionen

Eine moderne interaktive Seite zur Darstellung komplexer Funktionen: Die Phase wird farbig kodiert, der Betrag erscheint als Höhenlinien im Definitionsbereich.

Visualisierung der Funktion f(z)=z mit farbiger Phase und Höhenlinien für den Betrag
Beispielbild für die Identitätsfunktion f(z)=z: Farbe beschreibt die Phase, Höhenlinien beschreiben den Betrag.

Die Idee

Reelle Funktionen veranschaulicht man sich oft dadurch, dass man ihren Funktionsgraphen zeichnet. Das kann man auf einem Blatt Papier gut tun. Bei komplexen Funktionen dagegen, also wenn sowohl das Argument als auch der Wert der Funktion komplexe Zahlen annimmt, geht das nicht; man bräuchte ein vierdimensionales Blatt Papier.

Daher visualisieren wir komplexe Funktionen hier auf andere Weise. In jedem Punkt eines rechteckigen Ausschnitts des Definitionsbereichs wird der entsprechende Funktionswert geplottet. Dabei wird dessen Phase farbig dargestellt und der Betrag durch Höhenlinien. Die Höhenlinien sind in Grautönen gehalten: je größer der Betrag, desto heller die entsprechende Höhenlinie.

Phase als Farbe Die Richtung des komplexen Funktionswerts wird über die Farbpalette sichtbar.
Betrag als Höhenlinie Die Konturlinien zeigen, wie groß der Betrag des Funktionswerts ist.
Interaktiv berechnet Die Visualisierung wird direkt über eine eingebettete SageMath-Zelle erzeugt.

Bedienung

Sie können die Minimal- und Maximalwerte für den Realteil x und den Imaginärteil y des Definitionsbereichs mit den Schiebereglern anpassen. In der Textbox geben Sie die Funktion an, die Sie visualisieren möchten.

Dabei ist SageMath-Notation für mathematische Ausdrücke zu verwenden, also zum Beispiel exp(I*z+2*z^2) für exp(iz+2z²). Python-Notation, zum Beispiel exp(I*z+2*z**2), ist auch möglich. Die Variable heißt stets z.

Schließlich können Sie noch die Anzahl der Niveaulinien ändern, die Beschriftung der Niveaulinien ein- und ausschalten und zwischen verschiedenen Genauigkeitsstufen für die Berechnung wählen. Niedrige Genauigkeit geht am schnellsten, allerdings entstehen manchmal Artefakte, insbesondere bei den Höhenlinien. Es empfiehlt sich, zunächst mit niedriger Genauigkeit zu rechnen und bei Bedarf die Genauigkeit zu erhöhen.

Ein Klick auf „Update“ löst die Berechnung einer neuen Visualisierung mit den aktuellen Parameterwerten aus. Unterhalb der Ausgabe finden Sie Links zum Download des aktuellen Bildes als PNG- oder PDF-Datei.

Interaktive Visualisierung

Wählen Sie den Ausschnitt, die Anzahl der Niveaulinien und die gewünschte Funktion.

SageMath-Zelle

Hinweise

Diese Seite nutzt das Open-Source-Computeralgebrasystem SageMath. Die Rechnungen werden auf dem Sage Cell Server ausgeführt.

Sollte die Verbindung zum Sage Cell Server aufgrund von dessen Überlastung abbrechen (erkennbar am ausgegrauten Update-Feld), bitte die Webseiten eu aufrufen.